CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Una empresa fabrica relojes smartwatch de dos tamaños de pantalla distintos: el tipo A, de 44 milímetros y el tipo B de 40 milímetros. Su producción semanal debe ser al menos de 10 relojes en total y el número de smartwatch que fabrica la empresa tipo B de 40 mm no puede superar en más de 10 unidades a los de tipo A. Los costes de producción de cada tipo de smartwatch son de 150 € para el tipo A y de 100 € los del B, disponiendo la empresa de un máximo de 6000 € a la semana para el coste total de producción. Además, se conoce que los relojes smartwatch tipo A generan un beneficio de 130 € y los de tipo B de 140 €.
a) Si la empresa quiere maximizar su beneficio, formule el problema que debe resolver y represente la región factible, calculando sus vértices. (1,5 puntos)
b) ¿Cuántos smartwatch de cada tipo habrá que producir a la semana para que el beneficio total de la empresa sea máximo?, ¿Cuál es este beneficio máximo? (1 punto)
✍️Solución: ejercicio de programación lineal
Enunciado resumido:
Una empresa fabrica smartwatch de tipo A (44 mm) y tipo B (40 mm).
Sea x el nº de A y y el nº de B producidos cada semana.
Restricciones
Producción mínima: $x+y\ge10$
Diferencia de modelos: $y\le x+10$
Coste máximo: $150x+100y\le6000$
No negatividad: $x\ge0,\;y\ge0$
Beneficio
Por A: 130 € ⇒ $130x$
Por B: 140 € ⇒ $140y$
Función objetivo a maximizar: $$Z=130x+140y$$
🔁Paso 1: Identificación de fronteras y ecuaciones
Recta P: $x+y=10$
Recta Q: $y=x+10$
Recta R (coste): $150x+100y=6000\;\Rightarrow\;3x+2y=120$
Ejes: $x=0$ y $y=0$
📌 Nota: La región factible es el polígono común a todas las inecuaciones anteriores.
🔁Paso 2: Representación y boceto de la región factible
Las tres rectas limitan el recinto junto con los ejes. A continuación se muestran los puntos clave (intersecciones) que definirán el polígono factible:
🔁Paso 3: Cálculo de vértices (intersecciones)
P ∩ Q:
$$\begin{cases}x+y=10\\y=x+10\end{cases}\;\Rightarrow\;(0,10)$$
P ∩ $y=0$:
$$\begin{cases}x+0=10\\y=0\end{cases}\;\Rightarrow\;(10,0)$$
R ∩ $y=0$:
$$\begin{cases}3x+2\cdot0=120\\y=0\end{cases}\;\Rightarrow\;(40,0)$$
R ∩ Q:
$$\begin{cases}3x+2y=120\\y=x+10\end{cases}
\;\Rightarrow\;5x=100\;\Rightarrow\;x=20,\;y=30$$
Los vértices de la región factible son:
$$
(0,10),\;(10,0),\;(40,0),\;(20,30)
$$
🔁Paso 4: Evaluación de la función beneficio en cada vértice
Vértice
$Z=130x+140y$ ( € )
$(0,10)$
1400
$(10,0)$
1300
$(40,0)$
5200
$(20,30)$
6800
🔁Paso 5: Conclusión
Beneficio máximo: 6800 €
Producción óptima: 20 smartwatch tipo A y 30 smartwatch tipo B por semana.
Por lo tanto, para obtener el beneficio semanal más alto la empresa debe fabricar 20 unidades del modelo A y 30 unidades del modelo B, respetando todas las restricciones de coste y producción.
