a) Al 45% de los socios de un club le gusta jugar a las cartas, al 40% jugar al dominó y al 23% jugar a las cartas y al dominó. Si elegimos al azar a un socio de este club, calcula las siguientes probabilidades:
i. Que juegue a las cartas o al dominó. (0,5 puntos)
ii. Que no juegue ni a las cartas ni al dominó. (0,5 puntos)
iii. Que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó. (0,5 puntos)
b) La altura de los estudiantes de una clase se distribuye según una distribución normal de media desconocida \( \mu \) y una desviación típica de 4 cm. Se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes de la clase obteniendo una estatura media de 172 cm. Hallar un intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99 %. (1 punto).
✍️Solución apartado a)
Enunciado:
Al 45 % de los socios de un club le gusta jugar a las cartas, al 40 % jugar al dominó y al 23 % jugar a las cartas y al dominó.
Si elegimos al azar a un socio de este club, calcula las siguientes probabilidades:
Que juegue a las cartas o al dominó.
Que no juegue ni a las cartas ni al dominó.
Que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó.
Paso 1: Definimos los sucesos
Para que el problema sea más claro, usamos letras que nos ayuden a recordar a qué se refiere cada suceso:
\( C \): “juega a las Cartas”
\( D \): “juega al Dominó”
Nos dan las siguientes probabilidades:
\( P(C) = 0{,}45 \)
\( P(D) = 0{,}40 \)
\( P(C \cap D) = 0{,}23 \) → esto representa que le gustan ambos juegos: cartas y dominó.
i) ¿Cuál es la probabilidad de que juegue a las cartas o al dominó?
En lenguaje cotidiano, la palabra “o” puede ser confusa. En matemáticas, salvo que se diga lo contrario, se interpreta como una “o inclusiva”.
Es decir, que puede jugar a las cartas, al dominó, o a ambos.
Esto se traduce en teoría de conjuntos como una unión de sucesos:
✅ Respuesta: la probabilidad de que juegue a las cartas o al dominó es 0,62 (o 62 %).
ii) ¿Cuál es la probabilidad de que no juegue ni a las cartas ni al dominó?
La expresión “ni a las cartas ni al dominó” se refiere a ninguno de los dos juegos.
Esto es el suceso contrario al anterior, es decir, al de “juega a las cartas o al dominó”.
Lo escribimos como:
\[ P(\overline{C \cup D}) = 1 – P(C \cup D) \]
Ya que la probabilidad de que ocurra el contrario de algo es igual a \( 1 \) menos la probabilidad de que ocurra ese algo.
✅ Respuesta: la probabilidad de que no juegue ni a las cartas ni al dominó es 0,38 (o 38 %).
iii) ¿Cuál es la probabilidad de que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó?
Cuando aparece la expresión “sabiendo que”, estamos ante una probabilidad condicionada.
Nos están preguntando:
→ Si ya sabemos que juega al dominó, ¿cuál es la probabilidad de que además juegue a las cartas?
✅ Respuesta: la probabilidad de que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó, es 0,575 (o 57,5 %).
✅ Resumen final de resultados:
Apartado
Probabilidad
Resultado
i
\( P(C \cup D) \)
0,62
ii
\( P(\overline{C \cup D}) \)
0,38
iii
\( P(C \mid D) \)
0,575
✍️Solución apartado b)
Enunciado:
La altura de los estudiantes de una clase se distribuye según una distribución normal de media desconocida \(\mu\) y desviación típica \(\sigma = 4 \text{ cm}\).
Se toma una muestra aleatoria de \(n = 16\) estudiantes obteniendo una estatura media \(\bar x = 172 \text{ cm}\).
Halla un intervalo de confianza para \(\mu\) con un nivel de confianza del 99 %.
