2024 UMU ORD 01

Enunciado:

Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función del parámetro a:
\[ \begin{cases} 2x + a\,y + 4z = 2 \\ a\,x + 2y + 6z = 0 \\ 4x + 2a\,y + 10z = a \end{cases} \]

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🔁Paso 1: Matriz ampliada y preparación para el método de Gauss

Escribimos la matriz ampliada del sistema según el orden de las ecuaciones:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & a & 4 & 2 \\ a & 2 & 6 & 0 \\ 4 & 2a & 10 & a \end{array} \right) \]

🔁Paso 2: Escalonar la matriz ampliada

A continuación, aplicamos el método de Gauss para escalonar la matriz:

• F₂ ← 2·F₂ − a·F₁ (para eliminar la x en la segunda fila)
• F₃ ← F₃ − 2·F₁ (para eliminar la x en la tercera fila)

Obtenemos la matriz escalonada:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & a & 4 & 2 \\ 0 &4 – a^2 & 12 – 4a & -2a \\ 0 & 0 & 2 & a – 4 \end{array} \right) \]

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🔁Paso 3: Determinación de los posibles casos dependiendo del valor del parámetro

Después de aplicar el método de Gauss, la matriz queda:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} \colorbox{yellow}{2} & a & 4 & 2 \\ 0 &\colorbox{yellow}{\(4 – a^2\)} & 12 – 4a & -2a \\ 0 & 0 & \colorbox{yellow}{2} & a – 4 \end{array} \right) \] Cada elemento de la diagonal (una vez hemos aplicado operaciones de fila para triangular la matriz) es un pivote, es decir, el primer número distinto de cero de cada fila que se utiliza para anular los coeficientes por debajo de él.

En este ejercicio, el único elemento que depende del parámetro \(a\) es el elemento \(A^{*}_{22}\), por lo que es necesario comprobar para qué valores de \(a\) dicho elemento se hace cero.

Nos fijamos en el elemento central de la matriz escalonada:

\[ 4 – a^2 \]

Lo igualamos a cero para encontrar los valores críticos:

\[ 4 – a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \]

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Existen tres casos distintos según el valor de \( a \):

• Caso 1: \( a \neq \pm2 \)
• Caso 2: \( a = 2 \)
• Caso 3: \( a = -2 \)

🔁Paso 4: Discusión de compatibilidad

🔹Caso 1: \( a \neq \pm2 \)

En este caso se cumple que:

\[ 4 – a^2 \neq 0 \]

Por tanto, el elemento central de la matriz escalonada no se anula, lo que significa que todos los pivotes son distintos de cero:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & a & 4 & 2 \\ 0 & 4 – a^2 & 12 – 4a & -2a \\ 0 & 0 & 2 & a – 4 \end{array} \right) \]

Esta forma escalonada indica que:

• El rango de la matriz de coeficientes es 3.
• El rango de la matriz ampliada también es 3.
• Y el número de incógnitas es 3.

Por el teorema de Rouché-Fröbenius, si el rango coincide con el número de incógnitas:

✅ Caso 1: Si \( a \neq \pm2 \) → El sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única.

🔹Caso 2: \( a = 2 \)

Sustituimos \( a = 2 \) en la matriz escalonada:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 4 – (2)^2 & 12 – 4\cdot2 & -2\cdot2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 – 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \]

Analizamos los rangos:

• La matriz de coeficientes es: \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Tiene rango 2, ya que hay dos filas no nulas (La fila 2 y la fila 3 son proporcionales)
• La matriz ampliada es: \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \] También tiene rango 2, ya que la tercera fila es combinación lineal de la segunda.
• Número de incógnitas: 3

Como el rango es de ambas matrices es 2 y hay 3 incógnitas:

✅ Caso 2: Si \( a = 2 \) → El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

🔹Caso 3: \( a = -2 \)

Sustituimos \( a = -2 \) en la matriz escalonada:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 4 – (-2)^2 & 12 – 4(-2) & -2(-2) \\ 0 & 0 & 2 & -2 – 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 20 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -6 \end{array} \right) \]

Analizamos los rangos:

• La matriz de coeficientes es: \[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Tiene rango 2, ya que hay dos filas no nulas.
• La matriz ampliada es: \[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 20 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -6 \end{pmatrix} \] Tiene rango 3, ya que las tres filas son linealmente independientes.

Como el rango de la matriz de coeficientes es distinto al de la matriz ampliada:

✅ Caso 3: Si \( a = -2 \) → El sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

✅ Conclusión: El sistema es:

• Compatible determinado si \( a \neq \pm2 \).
• Compatible indeterminado si \( a = 2 \).
• Incompatible si \( a = -2 \).

Enunciado:

Resolverlo para \( a = 0 \). (0,5 puntos)

🔁 Paso 1: Construcción de la matriz ampliada para \( a = 0 \)

Sustituimos \( a = 0 \) en el sistema original y expresamos la matriz ampliada:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 4 & 0 & 10 & 0 \end{array} \right) \]

🔁 Paso 2: Escalonar la matriz ampliada

Aplicamos la operación elemental para triangular la matriz:

• F₃ ← F₃ − 2·F₁

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{array} \right) \]

🔁 Paso 3: Resolución hacia atras (sustitución regresiva)

A partir de la matriz escalonada, escribimos el sistema equivalente en su forma algebraica:

\[ \begin{cases} 2x + 0y + 4z = 2 \\ \phantom{2x + }2y + 6z = 0 \\ \phantom{2x + 2y + }2z = -4 \end{cases} \]

Resolución hacia atrás (sustitución regresiva):

• \( 2z = -4 \Rightarrow z = -2 \)
• \( 2y + 6z = 0 \Rightarrow 2y – 12 = 0 \Rightarrow y = 6 \)
• \( 2x + 4z = 2 \Rightarrow 2x – 8 = 2 \Rightarrow x = 5 \)